Question

1．如圖，已知矩形ABCD的長和寬分別是4，3，AE⊥BD，CF⊥BD，沿對角線BD把△BCD折起，使二面角C-BD-A的大小為60°，則線段AC的長為$\frac{\sqrt{193}}{5}$．

Answer 1

分析 首先在矩形ABCD中，分別求出AE，EF，CF的長，在平面ABD內，過F作FH∥AE，且FH=AE，連接AH，易得四邊形AEFH為矩形，由FH⊥DB，又CF⊥DB，即有∠CFH為二面角C-BD-A的平面角，且為60°，求得CH，再由線面垂直得到△ACH為直角三角形，由勾股定理，即可得到AC的長．

解答 解：在直角三角形ABD中，AB=4，AD=3，BD=5，
AE=$\frac{12}{5}$，DE=$\sqrt{9-\frac{144}{25}}$=$\frac{9}{5}$，
同理直角三角形ABC中，CF=$\frac{12}{5}$，BF=$\frac{9}{5}$，
則EF=BD-DE-BF=$\frac{7}{5}$，
在平面ABD內，過F作FH∥AE，且FH=AE，連接AH，易得四邊形AEFH為矩形，
則AH=EF=$\frac{7}{5}$，AH∥EF，
FH⊥DB，又CF⊥DB，即有∠CFH為二面角C-BD-A的平面角，且為60°，
即CH=CF=$\frac{12}{5}$，
由BD⊥平面CFH，得到BD⊥CH，
即有AH⊥CH，
則AC=$\sqrt{\frac{49}{25}+\frac{144}{25}}$=$\frac{\sqrt{193}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{193}}{5}$．

點評 本題主要考查空間的二面角的求法，考查空間線面的位置關系，同時考查基本的運算能力，屬于中檔題．