Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{4{x}^{3}}{3a}$+b（a＞0）與g（x）=clnx在x=1處的切線平行，則$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$的最大值為$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）和g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，運(yùn)用兩直線平行的條件可得ac=4，再由基本不等式即可求得所求的最大值．

解答 解：f（x）=$\frac{4{x}^{3}}{3a}$+b（a＞0）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{4}{a}$x²，
g（x）=clnx的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{c}{x}$，
由于在x=1處的切線平行，
即有c=$\frac{4}{a}$（c＞0，a＞0），
即ac=4，
則$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$=$\frac{a+9c+18}{a+9c+9+ac}$
=$\frac{a+9c+18}{a+9c+13}$=1+$\frac{5}{a+9c+13}$，
由于a+9c≥2$\sqrt{9ac}$=12，
當(dāng)且僅當(dāng)a=9c=6時(shí)，取得等號(hào)．
即有$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$≤1+$\frac{5}{12+13}$=$\frac{6}{5}$．
即有當(dāng)a=6，c=$\frac{2}{3}$時(shí)，$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$的最大值為$\frac{6}{5}$．
故答案為：$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，同時(shí)考查兩直線平行的條件和基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．