Question

13．若點(diǎn)P是曲線y=x²-lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x-4的最小距離為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意知，當(dāng)曲線上過點(diǎn)P的切線和直線y=x-4平行時，點(diǎn)P到直線y=x-4的距離最小．求出曲線對應(yīng)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)值等于1，可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，此切點(diǎn)到直線y=x-4的距離即為所求．

解答 解：點(diǎn)P是曲線y=x²-lnx上任意一點(diǎn)，
當(dāng)過點(diǎn)P的切線和直線y=x-4平行時，
點(diǎn)P到直線y=x-4的距離最�。�
直線y=x-4的斜率等于1，
y=x²-lnx的導(dǎo)數(shù)y′=2x-$\frac{1}{x}$
令y′=1，解得x=1，或 x=-$\frac{1}{2}$（舍去），
故曲線y=x²-lnx上和直線y=x-4平行的切線經(jīng)過的切點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），
點(diǎn)（1，1）到直線y=x-4的距離d=，
故點(diǎn)P到直線y=x-4的最小距離為d=$\frac{|1-1-4|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，同時考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及運(yùn)用兩直線平行的條件是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．