Question

9．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，過點M$（2，\sqrt{6}）$
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）對稱軸為x軸的標準拋物線w過M點，是否存在斜率為1的直線L與此拋物線W有公共點，且M點到此直線L 的距離為$\sqrt{2}$？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，過點M$（2，\sqrt{6}）$，建立方程，求出a，b，即可求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求出對稱軸為x軸的標準拋物線的方程，設(shè)斜率為1的直線L與此拋物線W有公共點，利用M點到此直線L 的距離為$\sqrt{2}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，過點M$（2，\sqrt{6}）$，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，$\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{6}{^{2}}=1$，
∴a=1，b=$\sqrt{2}$，
∴雙曲線C的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)拋物線方程為y²=ax，代入M，可得6=2a，
∴a=3，
∴拋物線方程為y²=3x，
設(shè)斜率為1的直線L的方程為y=x+m，即x-y+m=0，
∵M點到此直線L的距離為$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|2-\sqrt{6}+m|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴m=$\sqrt{6}$或-4+$\sqrt{6}$，
∴直線L的方程為x-y+$\sqrt{6}$=0或x-y-4+$\sqrt{6}$=0．
經(jīng)檢驗x-y-4+$\sqrt{6}$=0，符合題意．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．