Question

9．已知雙曲線(xiàn)C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，過(guò)點(diǎn)M$（2，\sqrt{6}）$
（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）對(duì)稱(chēng)軸為x軸的標(biāo)準(zhǔn)拋物線(xiàn)w過(guò)M點(diǎn)，是否存在斜率為1的直線(xiàn)L與此拋物線(xiàn)W有公共點(diǎn)，且M點(diǎn)到此直線(xiàn)L 的距離為$\sqrt{2}$？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用雙曲線(xiàn)C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，過(guò)點(diǎn)M$（2，\sqrt{6}）$，建立方程，求出a，b，即可求雙曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）求出對(duì)稱(chēng)軸為x軸的標(biāo)準(zhǔn)拋物線(xiàn)的方程，設(shè)斜率為1的直線(xiàn)L與此拋物線(xiàn)W有公共點(diǎn)，利用M點(diǎn)到此直線(xiàn)L 的距離為$\sqrt{2}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵雙曲線(xiàn)C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，過(guò)點(diǎn)M$（2，\sqrt{6}）$，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，$\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{6}{^{2}}=1$，
∴a=1，b=$\sqrt{2}$，
∴雙曲線(xiàn)C的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)拋物線(xiàn)方程為y²=ax，代入M，可得6=2a，
∴a=3，
∴拋物線(xiàn)方程為y²=3x，
設(shè)斜率為1的直線(xiàn)L的方程為y=x+m，即x-y+m=0，
∵M(jìn)點(diǎn)到此直線(xiàn)L的距離為$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|2-\sqrt{6}+m|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴m=$\sqrt{6}$或-4+$\sqrt{6}$，
∴直線(xiàn)L的方程為x-y+$\sqrt{6}$=0或x-y-4+$\sqrt{6}$=0．
經(jīng)檢驗(yàn)x-y-4+$\sqrt{6}$=0，符合題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程與性質(zhì)，考查拋物線(xiàn)的方程，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，屬于中檔題．