Question

如圖，直線l：y=x+b與曲線C：x²=4y相切于點A．
（Ⅰ）求實數b的值；
（Ⅱ）求由曲線C與直線l及x=0圍成的圖形的面積．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,定積分在求面積中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）法1：利用消元法轉化為一元二次方程進行求解；法2：利用導數的幾何意義進行求解．
（Ⅱ）根據積分的幾何意義即可求由曲線C與直線l及x=0圍成的圖形的面積．

解答： 解：（Ⅰ）解法1．由

x2=4y y=x+b

得x²-4x-4b=0，ks5u
因為直線l：y=x+b與拋物線C：x²=4y相切，所以△=（-4）²-4×（-4b）=0，
解得b=-1．
解法2．設切點A（x₀，y₀），由y=

1

4

x2得y′=

1

2

x，
所以切線l在點A處的斜率為k=

1

2

x0，
因為切線l的斜率為1，則k=

1

2

x0=1，x₀=2，
又A在拋物線上，所以y0=

1

4

x

2 0

=

1

4

×22=1，
于是A的坐標為A（2，1），因為A在直線ls上，所以1=2+b，b=-1．
（II）S=

∫

2 0

[

x2

4

-(x-1)]dx=(

x3

12

-

x2

2

+x)

|

2 0

=

2

3

．

點評：本題主要考查導數的應用，利用導數的幾何意義以及積分飛幾何意義是解決本題的關鍵．