Question

10．已知函數(shù)f（x）=1-2a-2acosx-2sin²x（a∈R，x∈R）的最小值為g（a），求g（a）的最大值．

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡函數(shù)解析式后，分三種情況：①$\frac{a}{2}$小于-1時(shí)②$\frac{a}{2}$大于-1而小于1時(shí)③$\frac{a}{2}$大于1時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)求最小值的方法求出f（x）的最小值g（a）的值即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=1-2a-2acosx-2sin²x=-1-2a-2acosx-2cos²x，
令t=cosx，則y=-2t²-2at-2a+1，t∈[-1，1]，
若$\frac{a}{2}$＜-1，即a＜-2，則當(dāng)cosx=-1時(shí)，f（x）有最小值g（a）=2（-1-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1=1；
若-1≤$\frac{a}{2}$≤1，即-2≤a≤2，則當(dāng)cosx=$\frac{a}{2}$時(shí)，f（x）有最小值g（a）=-$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1∈[-7，1]
$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2，則當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）有最小值g（a）=2（1-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1=1-4a＜-7
∴g（a）的最大值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是余弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．