Question

20．設圓O：x²+y²=1，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，定義橫、縱坐標為整數的點為“格點”
（1）設圓上及圓內的“格點”構成集合A，橢圓上及橢圓內的“格點”構成集合B，求集合A，B；
（2）設C=A∪B，D=A∩B，在集合C中任取兩個元素，至少有一個元素在集合D的概率是多少？

Answer 1

分析 （1）根據圓的性質和橢圓的性質即可求出格點的坐標，分別寫出相應的集合即可，
（2）分別求出集合C，D的元素個數，根據概率公式計算即可．

解答 解：（1）由題意可得，A={（0，0），（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1）}，
B={（0，0），（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），（-2，0），（2，0）}，
（2）設C=A∪B={（0，0），（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），（-2，0），（2，0）}共有7個，
D=A∩B={（0，0），（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1）}，
從集合C中任取兩個元素共有C₇²=21種，
沒有有一個元素在集合D，有C₂²=1種，
故至少有一個元素在集合D的概率為1-$\frac{1}{21}$=$\frac{20}{21}$．

點評 本題考查了橢圓和圓的性質，關鍵求出相應的種數，屬于基礎題．