Question

5．三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為a的球面上，若PC=2PA=2a，且AB⊥BC，則三棱錐P-ABC的體積的最大值為（　�。�

• A． $\frac{{a}^{3}}{4}$
• B． $\frac{{a}^{3}}{3}$
• C． $\frac{{a}^{3}}{2}$
• D． $\frac{3{a}^{3}}{4}$

Answer 1

分析 由題意，三棱錐P-ABC的體積最大時(shí)，PA⊥平面ABC，PC為球的直徑，設(shè)AB=x，則BC=$\sqrt{3{a}^{2}-{x}^{2}}$，V=$\frac{1}{3}$x•$\sqrt{3{a}^{2}-{x}^{2}}$•a，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，三棱錐P-ABC的體積最大時(shí)，PA⊥平面ABC，PC為球的直徑，
設(shè)AB=x，則BC=$\sqrt{3{a}^{2}-{x}^{2}}$，
∴V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$x•$\sqrt{3{a}^{2}-{x}^{2}}$•a=$\frac{a}{6}$$\sqrt{{x}^{2}（3{a}^{2}-{x}^{2}）}$≤$\frac{a}{6}$•$\frac{3{a}^{2}}{2}$=$\frac{{a}^{3}}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x²=3a²-x²時(shí)，等號成立，
∴三棱錐P-ABC的體積的最大值為$\frac{{a}^{3}}{4}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查三棱錐P-ABC的體積的最大值，考查基本不等式的運(yùn)用，正確表示三棱錐P-ABC的體積是關(guān)鍵．