Question

5．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點（0，$\sqrt{2}$）且斜率為k的直線l與曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ是參數(shù)）有兩個不同的交點P和Q，則k的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 首先，將所給的曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，然后，設(shè)出直線的方程，最后聯(lián)立方程組，利用判別式，確定所求的取值范圍即可．

解答 解：根據(jù)曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ是參數(shù)），得
$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
∵經(jīng)過點（0，$\sqrt{2}$）且斜率為k的直線l的方程為：
y-$\sqrt{2}$=kx，
∴y=kx+$\sqrt{2}$，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得
（1+4k²）x²+8$\sqrt{2}$kx+4=0，
∵直線l與曲線C有兩個不同的交點，
∴△=128k²-4×4×（1+4k²）≥0，
∴k²≥$\frac{1}{4}$，
∴k≤-$\frac{1}{2}$或k$≥\frac{1}{2}$，
∴k∈（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題重點考查了曲線的參數(shù)方程和普通方程的互化、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．