Question

14．求證：方程3^x=$\frac{2-x}{x+1}$在區(qū)間（0，1）內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．

Answer 1

分析 令f（x）=3^x-$\frac{3}{x+1}$+1，從而可判斷f（x）=3^x-$\frac{3}{x+1}$+1在（0，1）是增函數(shù)，從而利用零點(diǎn)的判定定理證明．

解答 證明：令f（x）=3^x-$\frac{2-x}{x+1}$=3^x-$\frac{3}{x+1}$+1，
∵y=3^x在（0，1）是增函數(shù)，y=$\frac{3}{x+1}$在（0，1）是減函數(shù)，
∴f（x）=3^x-$\frac{3}{x+1}$+1在（0，1）是增函數(shù)，
又∵f（0）=1-3+1=-1＜0，f（1）=3-$\frac{3}{2}$+1＞0；
∴f（x）=3^x-$\frac{3}{x+1}$+1在（0，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
∴方程3^x=$\frac{2-x}{x+1}$在區(qū)間（0，1）內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷，同時(shí)考查了函數(shù)零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用．