Question

10．已知函數(shù)f（x）=x|x+a|-$\frac{1}{2}$lnx．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a＜0，討論函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²-$\frac{1}{2}$lnx，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)數(shù)，斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）分類討論，利用極值的定義，即可討論函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²-$\frac{1}{2}$lnx，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．
f′（x）=$\frac{（2x-1）（2x+1）}{2x}$，
令f′（x）＞0，可得x＞$\frac{1}{2}$，f′（x）＞0，可得0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（$\frac{1}{2}$，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，$\frac{1}{2}$）；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-\frac{1}{2}lnx，x＞-a}\\{-{x}^{2}-ax-\frac{1}{2}lnx，0＜x＜-a}\end{array}\right.$．
①x＞-a時(shí)，f′（x）=$\frac{4{x}^{2}+2ax-1}{2x}$=0，可得x₁=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$，x₂=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$＜-a（舍去）．
若$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$≤-a，即a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，f′（x）≥0，∴函數(shù)f（x）在（-a，+∞）上單調(diào)遞增；
若$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$＞-a，即-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜0，則當(dāng)x∈（-a，x₁）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（x₁，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）在∈（-a，x₁）上單調(diào)遞減，在（x₁，+∞）上單調(diào)遞增．
②當(dāng)0＜x＜-a時(shí)，f′（x）=$\frac{-4{x}^{2}-2ax-1}{2x}$=0，得-4x²-2ax-1=0．
記△=4a²-16．
△≤0，即-2≤a＜0，f′（x）≤0，∴f（x）在（0，-a）上單調(diào)遞減；
△＞0，即a＜-2，f′（x）=0可得x₃=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{4}$，x₄=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{4}$且0＜x₃＜x₄＜-a．
x∈（0，x₃）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（x₃，x₄）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（x₄，-a），f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，x₃）上單調(diào)遞減，在（x₃，x₄）上單調(diào)遞增，在（x₄，-a）上單調(diào)遞減，
綜上所述，a＜-2時(shí)，f（x）的極小值點(diǎn)為$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{4}$，極大值點(diǎn)為$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{4}$；-2≤a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，f（x）無(wú)極值點(diǎn)；
-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜0時(shí)，f（x）的極小值點(diǎn)為$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，有難度．