Question

1．函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}-1}{x-2}$的取值范圍為[0，1]．

Answer 1

分析 令x=cosθ（0≤θ≤π）換元，化簡后利用$y=\frac{sinθ-1}{cosθ-1}$（0≤θ≤π）的幾何意義求得答案．

解答 解：由1-x²≥0，得-1≤x≤1，
令x=cosθ（0≤θ≤π），
則函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}-1}{x-2}$化為y=$\frac{\sqrt{1-co{s}^{2}θ}-1}{cosθ-2}$=$\frac{\sqrt{si{n}^{2}θ}-1}{cosθ-2}=\frac{sinθ-1}{cosθ-2}$，
其幾何意義為單位圓上半圓與定點(diǎn)P（2，1）連線的斜率，
如圖：

∵${k}_{AP}=\frac{1-0}{2-1}=1$，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}-1}{x-2}$的取值范圍為[0，1]．
故答案為：[0，1]．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)值域的求法，考查了換元法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．