Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（ax²+ax+1）e^x，其中a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）在（-1，0）內(nèi)存在極值，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)，進(jìn)而根據(jù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，分a=0和a≠0兩種情況討論滿足條件的a的取值，最后綜合討論結(jié)果，可得a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）在（-1，0）內(nèi)存在極值，則f′（x）在（-1，0）內(nèi)存在零點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)零點(diǎn)存在定理得到a的取值范圍．

解答： 解：（I）∵f（x）=（ax²+ax+1）e^x，
∴f′（x）=（ax²+3ax+a+1）e^x，
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=e^x＞0恒成立，滿足f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，
當(dāng)a≠0時(shí)，若f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，
則ax²+3ax+a+1=0至多有一個(gè)根，
即△=9a²-4a（a+1）≤0，
解得：0＜a≤

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，
綜上所述：0≤a≤

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5

，
（II）若f（x）在（-1，0）內(nèi)存在極值，首先a＜0，或a＞

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，
且f′（x）=（ax²+3ax+a+1）e^x=0至少有一個(gè)根在（-1，0）內(nèi)，
即ax²+3ax+a+1=0至少有一個(gè)根在（-1，0）內(nèi)，
∵函數(shù)g（x）=ax²+3ax+a+1的對(duì)稱軸為x=-

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∉（-1，0），
∴g（-1）•g（0）=（-a+1）（a+1）＜0，
解得：a＜-1，或a＞1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，難度中檔．