Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1+1=a₁a₂a₃…a_n．
（Ⅰ）求a₂的值；
（Ⅱ）（�。┳C明：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n²=a_n+1-a_n+1；
（ⅱ）若正整數(shù)m滿足a₁a₂a₃…a_m+2015=a₁²+a₂²+a₃²+…+a_m²，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)a_n+1+1=a₁a₂a₃…a_n，令n=1即得結(jié)論；
（Ⅱ）（�。┩ㄟ^(guò)a_n+1+1=a₁a₂a₃…a_n及a_n+1=a₁a₂a₃…a_n-1可得$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}={a_n}$，進(jìn)而可得結(jié)論；
（ⅱ）通過(guò)a₁a₂a₃…a_m=1+a_m+1，可得${a_m}^2={a_{m+1}}-{a_m}+1$，利用${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+…+{a_m}^2$=a_m+1+m+2，計(jì)算即可結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：∵a_n+1+1=a₁a₂a₃…a_n，
∴a₂+1=a₁，∴a₂=a₁-1=1；
（Ⅱ）（�。┳C明：∵a_n+1+1=a₁a₂a₃…a_n，①
∴a_n+1=a₁a₂a₃…a_n-1，（n≥2）．         ②
由①÷②得 $\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}={a_n}$，
∴a_n+1+1=（a_n+1）a_n，
即當(dāng)n≥2時(shí)${a_n}^2={a_{n+1}}-{a_n}+1$；
（ⅱ）解：由a₁a₂a₃…a_m=1+a_m+1，
∵${a_1}^2=4$，
${a_2}^2={a_3}-{a_2}+1$，
${a_3}^2={a_4}-{a_3}+1$，
…
${a_m}^2={a_{m+1}}-{a_m}+1$，
∴${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+…+{a_m}^2$=a_m+1+m+2，
則（1+a_m+1）+2015=a_m+1+m+2，
∴m=2014．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的基本性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．