Question

10．對于定義域為D的函數(shù)y=f（x）和常數(shù)c，若對任意正實數(shù)ξ，?x∈D使得0＜|f（x）-c|＜ξ恒成立，則稱函數(shù)y=f（x）為“斂c函數(shù)”．現(xiàn)給出如下函數(shù)：
①f（x）=x（x∈Z）
②$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}+1（{x∈Z}）$
③f（x）=log₂x
④$f（x）=\frac{x-1}{x}$．其中為“斂1函數(shù)”的有（　�。�

• A． ①②
• B． ③④
• C． ②③④
• D． ①②③

Answer 1

分析 由“斂C函數(shù)”的定義可知，當(dāng)自變量x趨近于某個值或無窮大時，函數(shù)值y無限趨近于一個常數(shù)C，由此性質(zhì)對四個函數(shù)逐一判斷．

解答 解：對于函數(shù)①，取ξ=$\frac{1}{3}$，因為x∈Z，找不到x，使得0＜|x-1|＜$\frac{1}{3}$立，所以函數(shù)①不是“斂1函數(shù)”；
對于函數(shù)②，當(dāng)x→+∞時，$（\frac{1}{2}）^{x}$→0，所以$（\frac{1}{2}）^{x}+1$→1，所以對任意的正數(shù)ξ，總能找到一個足夠大的正整數(shù)x，使得0＜|f（x）-1|＜ξ成立，故函數(shù)②是“斂1函數(shù)”；
對于函數(shù)③，當(dāng)x→2時，log₂x→log₂2=1，所以對于無論多大或多小的正數(shù)ξ，總會找到一個x，使得0＜|f（x）-1|＜ξ成立，故函數(shù)③是“斂1函數(shù)”；
對于函數(shù)④，函數(shù)式可化為y=1-$\frac{1}{x}$，所以當(dāng)x→+∞時，$\frac{1}{x}$→0，即1-$\frac{1}{x}$→1，所以對于無論多小的正數(shù)ξ，總會找到一個足夠大的正數(shù)x，使得0＜|f（x）-1|＜ξ成立，故故函數(shù)④是“斂1函數(shù)”．
故選：C．

點評 解決本題主要是對題目中新定義準(zhǔn)確理解，解答本題中要注意已知基本函數(shù)圖象的應(yīng)用．