如圖所示:已知過拋物線的焦點F的直線與拋物線相交于A,B兩點。
(1)求證:以AF為直徑的圓與x軸相切;
(2)設(shè)拋物線在A,B兩點處的切線的交點為M,若點M的橫坐標(biāo)為2,求△ABM的外接圓方程;
(3)設(shè)過拋物線焦點F的直線與橢圓的交點為C、D,是否存在直線使得,若存在,求出直線的方程,若不存在,請說明理由。
(1)根據(jù)題意只要證明∴以線段AF為直徑的圓與x軸相切
(2)
(3)。
解析試題分析:(1)解法一(幾何法)設(shè)線段AF中點為,過作垂直于x軸,垂足為,則
, 2分
又∵, 3分
∴∴以線段AF為直徑的圓與x軸相切。 4分
解法二(代數(shù)法)設(shè),線段AF中點為,過作垂直于x軸,
垂足為,則,
∴. 2分
又∵點為線段AF的中點,∴, 3分
∴,
∴以線段AF為直徑的圓與x軸相切。 4分
(2)設(shè)直線AB的方程為,,
由 ,
∴. 5分
由,
, 6分
,故的外接圓圓心為線段的中點。
設(shè)線段AB中點為點P,易證⊙P與拋物線的準(zhǔn)線相切,切點為點M ,
. 7分
8分
又,
. 9分
(3),設(shè),10分
則 ,設(shè),則
11分
將代入可得: . ① 12分
由,
聯(lián)立可得,② 13分
聯(lián)立①②可得 ,解得.
。 14分
考點:直線與橢圓的位置關(guān)系
點評:主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運用,屬于中檔題。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知動點與定點的距離和它到直線的距離之比是常數(shù),記的軌跡為曲線.
(I)求曲線的方程;
(II)設(shè)直線與曲線交于兩點,點關(guān)于軸的對稱點為,試問:當(dāng)變化時,直線與軸是否交于一個定點?若是,請寫出定點的坐標(biāo),并證明你的結(jié)論;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在直角坐標(biāo)平面內(nèi),y軸右側(cè)的一動點P到點的距離比它到軸的距離大
(Ⅰ)求動點的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)為曲線上的一個動點,點,在軸上,若為圓的外切三角形,求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的右焦點為,離心率為.分別過,的兩條弦,相交于點(異于,兩點),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)求證:直線,的斜率之和為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點,若存在過點P的直線與都有公共點,則稱P為“C1—C2型點”.
(1)在正確證明的左焦點是“C1—C2型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);
(2)設(shè)直線與有公共點,求證,進(jìn)而證明原點不是“C1—C2型點”;
(3)求證:圓內(nèi)的點都不是“C1—C2型點”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知,直線, 動點到的距離是它到定直線距離的倍. 設(shè)動點的軌跡曲線為.
(1)求曲線的軌跡方程.
(2)設(shè)點, 若直線為曲線的任意一條切線,且點、到的距離分別為,試判斷是否為常數(shù),請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的頂點為原點,其焦點到直線:的距離為.設(shè)為直線上的點,過點作拋物線的兩條切線,其中為切點.
(Ⅰ) 求拋物線的方程;
(Ⅱ) 當(dāng)點為直線上的定點時,求直線的方程;
(Ⅲ) 當(dāng)點在直線上移動時,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)直線是曲線的一條切線,.
(Ⅰ)求切點坐標(biāo)及的值;
(Ⅱ)當(dāng)時,存在,求實數(shù)的取值范圍.
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