Question

已知函數(shù)f（x）=

3x，0≤x≤1 9 2 - 3 2 x，1＜x≤3

，若f（f（x））=t有3個零點(diǎn)，則t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）的單調(diào)性可得函數(shù)的最大值為f（1）=3，f（0）=1，f（3）=0，分類討論：當(dāng)t=3時不合題意；當(dāng)t=1時，符合題意；當(dāng)1≤t＜3時，符合題意，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：易得函數(shù)f（x）=

3x，0≤x≤1 9 2 - 3 2 x，1＜x≤3

在[0，1]上單調(diào)遞增，在（1，3]上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)的最大值為f（1）=3，f（0）=1，f（3）=0，
∴當(dāng)t=3時，f（m）=t只有一個根m=1，而當(dāng)m=1時方程f（x）=m有兩解，不合題意；
當(dāng)t=1時，f（m）=t只有兩個根m=0，此時對應(yīng)x一解，或x=

7

3

，此時對應(yīng)x兩解，符合題意；
∴當(dāng)1≤t＜3時，原方程有三解．
故答案為：1≤t＜3

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，涉及分類討論的思想，屬基礎(chǔ)題．