Question

20．關(guān)于△ABC有如下命題：在正三角形ABC內(nèi)部（不包括邊界）任取一點(diǎn)P，P點(diǎn)到三邊的距離分別為h₁，h₂，h₃，則h₁+h₂+h₃為定值，證明如下：連接PB、PC、PA，設(shè)△PBC、△PCA、△PAB的面積分別為S₁，S₂，S₃，△ABC的面積為S，則有：S=S₁+S₂+S₃⇒h=h₁+h₂+h₃（其中h為△ABC的高），根據(jù)上述思維猜想在正四面體（四個(gè)面均為正三角形的三棱錐）中的結(jié)論，并對(duì)猜想進(jìn)行證明．

Answer 1

分析 由平面圖形的性質(zhì)向空間物體的性質(zhì)進(jìn)行類比時(shí)，常用的思路有：由平面圖形中點(diǎn)的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì)．固我們可以根據(jù)已知中平面幾何中，關(guān)于線的性質(zhì)“正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊距離之和是一個(gè)定值”，推斷出一個(gè)空間幾何中一個(gè)關(guān)于面的性質(zhì)

解答 解：類比在正三角形ABC內(nèi)部（不包括邊界）任取一點(diǎn)P，P點(diǎn)到三邊的距離分別為h₁，h₂，h₃，則h₁+h₂+h₃為定值，可得：
P是棱長(zhǎng)為a的空間正四面體ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，則P點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和h₁+h₂+h₃+h₄為定值，
如圖：連接PA，PB，PC，PD，則三棱錐P-ABC，P-ABD，P-ACD，P-BCD的體積分別為：V₁，V₂，V₃，V₄，
由棱長(zhǎng)為a可以得到BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，BE=$\frac{2}{3}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
在直角三角形ABE中，根據(jù)勾股定理可以得到
AE²=AB²-BE²，即AE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，即h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，（其中h為正四面體A-BCD的高），
故正四面體的體積V=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$a=$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$，
正四面體的四個(gè)面△ABC，△ACD，△ABD，△BCD的面積均為$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
則V=V₁+V₂+V₃+V₄=$\frac{1}{3}$（h₁+h₂+h₃+h₄）$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
解得：h₁+h₂+h₃+h₄=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
∴即P是棱長(zhǎng)為a的空間正四面體ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，則P點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和h₁+h₂+h₃+h₄為定值$\frac{\sqrt{6}}{3}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類比推理，類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．