Question

已知f（x）=log_a

1-mx

x-1

是奇函數(shù)（a＞0且a≠1）
（1）求m的值；
（2）當0＜a＜1時，判斷f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調性并用定義證明；
（3）當a＞1時，x∈（r，a-2）時，f（x）的值域是（1，+∞），求a與r的值．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，建立條件關系，即可求出m的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調性的定義進行證明；
（3）由題設x∈（r，a-2）時，f（x）的值的范圍恰為（1，+∞），可根據(jù)函數(shù)的單調性確定出兩個參數(shù)a及r的方程，解方程得出兩個參數(shù)的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0且a≠1，m≠1）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
∴l(xiāng)og_a

1+mx

x+1

+log_a

1-mx

x-1

=0，
即m=±1，
∵m≠1，
∴m=-1，
此時f（x）=log_a

1+x

x-1

，滿足f（-x）=-f（x），
即f（x）是奇函數(shù)．
∴m=-1．
（2）解：設1＜x₁＜x₂，則：

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

；
∵1＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0；
∴

x1+1

x1-1

＞

x2+1

x2-1

；
又0＜a＜1，
則log_a

x1+1

x1-1

-log_a

x2+1

x2-1

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）（3）因為x∈（r，a-2），定義域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°當r≥1時，則1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a-2）上為減函數(shù)，值域恰為（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）
即log_a

1+a-2

a-2-1

=log_a

a-1

a-3

=1，即

a-1

a-3

=a，…（16分）
所以a=2+

3

且r=1 …（18分）
2°當r＜1時，則（r，a-2）?（-∞，-1），所以0＜a＜1，這與a＞1不合，
所以a=2+

3

且r=1．

點評：本小題主要考查函數(shù)單調性的應用、函數(shù)奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．