Question

5．不等式|x-$\frac{1}{4}$|≤$\frac{1}{12}$的解集為{x|n≤x≤m}
（1）求實(shí)數(shù)m，n；
（2）若實(shí)數(shù)a，b滿足：|a+b|＜m，|2a-b|＜n，求證：|b|＜$\frac{5}{18}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對值不等式的解法進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明．

解答 解：（1）由|x-$\frac{1}{4}$|≤$\frac{1}{12}$得-$\frac{1}{12}$≤x-$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{12}$，即$\frac{1}{6}$≤x≤$\frac{1}{3}$，
∵不等式|x-$\frac{1}{4}$|≤$\frac{1}{12}$的解集為{x|n≤x≤m}
∴n=$\frac{1}{6}$，m=$\frac{1}{3}$，
（2）證明：3|b|=|3b|=|2（a+b）-（2a-b）|≤2|a+b|+|2a-b|，
∵|a+b|＜m，|2a-b|＜n，∴|a+b|＜$\frac{1}{3}$，|2a-b|＜$\frac{1}{6}$，
則3|b|≤2|a+b|+|2a-b|＜2×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$，
即|b|＜$\frac{5}{18}$．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的解法和證明，利用絕對值不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．