Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，其中a為常數(shù)．
（1）若x=1是函數(shù)f（x）的一個極值點(diǎn)，求a的值；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＞1有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=ax+lnx，f′（x）=a+$\frac{1}{x}$，由題意可知：f′（1）=0，代入即可求得a的值；
（2）由題意可知f（x）的最大值大于1，求導(dǎo)，f′（x）=$\frac{ax+1}{x}$，a≥0時，f'（x）＞0，f（x）在定義域上是增函數(shù)，顯然成立，a＜0時，令f'（x）＞0，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，f'（x）＜0求的函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)x=-$\frac{1}{a}$時，f（x）有最大值，由-1+ln（-$\frac{1}{a}$）＞1，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）由題意可知f（x）在區(qū)間（0，2）上，f'（x）＞0恒成立或f'（x）＜0恒成立，由（2）可知a≥0時，滿足題意，a＜0時，-$\frac{1}{a}$≥2，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）=ax+lnx，f′（x）=a+$\frac{1}{x}$，
由x=1是函數(shù)f（x）的一個極值點(diǎn)，即f′（1）=0，
∴a+1=0，解得：a=-1，
∴a的值-1；
（2）由f（x）＞1有解，
∴只需f（x）的最大值大于1即可，
由f（x）=ax+lnx，（0，+∞），
f′（x）=a+$\frac{1}{x}$=$\frac{ax+1}{x}$，
①a≥0時，f'（x）＞0，則f（x）在定義域上是增函數(shù)，顯然滿足題意；
②a＜0時，0＜x＜-$\frac{1}{a}$時，f'（x）＞0；
x＞-$\frac{1}{a}$時，f'（x）＜0；
∴f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減；
∴當(dāng)x=-$\frac{1}{a}$時，f（x）有最大值，f（-$\frac{1}{a}$）=-1+ln（-$\frac{1}{a}$），
-1+ln（-$\frac{1}{a}$）＞1，
ln（-$\frac{1}{a}$）＞2，
-$\frac{1}{a}$＞e²，
a＞-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴-$\frac{1}{{e}^{2}}$＜a＜0，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（-$\frac{1}{{e}^{2}}$，∞）；
（3）f（x）在區(qū)間（0，2）上是單調(diào)函數(shù)，
即：在區(qū)間（0，2）上，f'（x）＞0恒成立或f'（x）＜0恒成立；
由（2）知：a≥0時，滿足題意；
a＜0時，要滿足題意，則-$\frac{1}{a}$≥2，
∴-$\frac{1}{2}$≤a＜0
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，函數(shù)的單調(diào)性及不等式恒成立問題，考查計算能力，屬于中檔題．