Question

7．已知M是橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的焦點(diǎn)，則|MF₁|•|MF₂|的最大值是（　�。�

• A． 4
• B． 6
• C． 9
• D． 12

Answer 1

分析 由題意可設(shè)M（x₀，y₀），可先求出離心率，根據(jù)橢圓的第二定義用x₀分別表示出|MF₁|和|MF₂|，求出|MF₁|•|MF₂|的表達(dá)式，把其看為關(guān)于x₀的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值．

解答 解：設(shè)M（x₀，y₀），由題意知a=3，b=2，c=$\sqrt{5}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
由橢圓的第二定義可知：|MF₁|=3+$\frac{\sqrt{5}}{3}$x₀，|MF₂|=3-$\frac{\sqrt{5}}{3}$x₀，
∴|MF₁|•|MF₂|=（3+$\frac{\sqrt{5}}{3}$）（3-$\frac{\sqrt{5}}{3}$）=9-$\frac{5}{9}$${x}_{0}^{2}$，
∴當(dāng)x₀=0時(shí)，|MF₁|•|MF₂|有最大值9．
故答案選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用，考查橢圓的第二定義，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．