Question

19．寫出一個以橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1和雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的離心率為根的方程x²-$\frac{5}{2}$x+1=0．

Answer 1

分析 求出橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1和雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的離心率．利用韋達(dá)定理，可得結(jié)論．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的離心率為$\frac{1}{2}$，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的離心率為2，
∴2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，2×$\frac{1}{2}$=1，
∴以橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1和雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的離心率為根的方程為x²-$\frac{5}{2}$x+1=0．
故答案為：x²-$\frac{5}{2}$x+1=0．

點評 本題以橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1和雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的離心率為載體，考查一元二次方程，考查學(xué)生的計算能力，正確求出橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1和雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的離心率是關(guān)鍵．