Question

9．如圖所示，矩形ABCD所在的平面垂直圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，M是CD上一點(diǎn)，且DM=EF，E、F是圓O上的點(diǎn)，∠EAF=∠FAB=30°．
（1）求證：DF⊥BF；
（2）求證：平面DAE∥平面MOF．

Answer 1

分析 （1）由已知得AD⊥AB，BF⊥AD，BF⊥AF，從而B(niǎo)F⊥平面ADF，由此能證明DF⊥BF．
（2）由已知推導(dǎo)出DM$\underset{∥}{=}$EF$\underset{∥}{=}$AO，從而四邊形EFMD和四邊形AOMD都是平行四邊形，進(jìn)而DE∥MF，AD∥MO，由此能證明平面DAE∥平面MOF．

解答 證明：（1）∵矩形ABCD所在的平面垂直圓O所在的平面，
∴AD⊥AB，∴AD⊥圓O所在的平面，∴BF⊥AD，
∵AB是圓O的直徑，F(xiàn)是圓O上的點(diǎn)，
∴BF⊥AF，
∵AF∩AD=A，∴BF⊥平面ADF，
∵DF?平面ADF，∴DF⊥BF．
（2）∵AB是圓O的直徑，M是CD上一點(diǎn)，且DM=EF，E、F是圓O上的點(diǎn)，∠EAF=∠FAB=30°，
∴DM=EF=OF=$\frac{1}{2}AB$，
∴DM$\underset{∥}{=}$EF$\underset{∥}{=}$AO，∴四邊形EFMD是平行四邊形，四邊形AOMD是平行四邊形，
∴DE∥MF，AD∥MO，
∵AD∩DE=D，OM∩MF=M，
∴平面DAE∥平面MOF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直和面面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．