Question

8．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1，P為C上的任意點(diǎn)．
（1）求證：點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；
（2）設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若∠F₁PF₂為鈍角，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合雙曲線的方程，即可證明；
（2）設(shè)雙曲線上一點(diǎn)P（x，y），若雙曲線上一點(diǎn)P使得∠F₁PF₂為鈍角，則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0，由此列不等式解得P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．

解答 （1）證明：設(shè)P（x，y），則
∵雙曲線C的兩條漸近線的方程為y=±$\frac{1}{2}$x，即x±2y=0
∴點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積$\frac{|（x+2y）（x-2y）|}{5}$=$\frac{4}{5}$；
（2）解：設(shè)P（x，y），則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（x+$\sqrt{5}$，y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（x-$\sqrt{5}$，y），
∵∠F₁PF₂為鈍角，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0
∴cos∠F₁PF₂＜0
∴（x+$\sqrt{5}$，y）•（x-$\sqrt{5}$，y）＜0  
即x²+y²-5＜0 
又$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1
∴$\frac{5}{4}$x²-6＜0 
解得x＜-$\frac{2\sqrt{30}}{5}$或x＞$\frac{2\sqrt{30}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及向量知識(shí)，解題時(shí)要能熟練的由雙曲線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解焦點(diǎn)三角形問題．