Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x為有理數(shù)\\ 0，x為無理數(shù)\end{array}$，給出下列命題：
①函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）是周期函數(shù)； 
③存在x_i（i=1，2，3），使得（x_i，f（x_i））為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形；
④存在x_i（i=1，2，3），使得（x_i，f（x_i））為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．
其中的真命題是①②③（填上你認(rèn)為正確的所有命題的序號）

Answer 1

分析 ①由偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．
②由周期函數(shù)的定義證明
③④由解析式做出大致圖象：根據(jù)圖象和等腰直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可；

解答 解：①若x為有理數(shù)，則-x也為有理數(shù)，∴f（x）=f（-x）=1，
若x為無理數(shù)，則-x也為無理數(shù)，∴f（x）=f（-x）=0，
綜上有f（x）=f（-x），∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，∴①正確．
②當(dāng)T=3，則當(dāng)x為有有理數(shù)時，x+3也為有理數(shù)，則f（x+3）=f（x）；
則當(dāng)x為有無理數(shù)時，x+3也為無理數(shù)，則f（x+3）=f（x）；
故T為函數(shù)的周期，即f（x）是周期函數(shù)，3是它的一個周期，故②正確；
③設(shè)三個點(diǎn)（x₁，0）（x2，1）（x₃，0）且x₁+x₃=2x₂，x₃-x₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，易滿足，故③正確．
④根據(jù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x為有理數(shù)\\ 0，x為無理數(shù)\end{array}$，可知：
假設(shè)存在等腰直角三角形ABC，則斜邊AB只能在x軸上或在直線y=1上，且斜邊上的高始終是1，
不妨假設(shè)A，B在x軸上，故斜邊AB=2，故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)不可能是無理數(shù)，否則O點(diǎn)不再是中點(diǎn)，故不存在．
另外，當(dāng)AB在y=1上，C在x軸時，由于AB=2，則C的坐標(biāo)應(yīng)是有理數(shù)，
故假設(shè)不成立，即不存在符合題意的等腰直角三角形，④錯誤；
故答案為：①②③

點(diǎn)評 本題主要考查了特殊函數(shù)的性質(zhì)的理解，屬于中檔題，高考以新定義題目出現(xiàn)．