Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0）有相同的焦點（-c，0）和（c，0），若c是a，m的等比中項，n²是2m²與c²的等差中項，則橢圓的離心率是（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)是a、m的等比中項可得c²=am，根據(jù)橢圓與雙曲線有相同的焦點可得a²-b²=m²+n²=c²，根據(jù)n²是2m²與c²的等差中項可得2n²=2m²+c²，聯(lián)立方程即可求得a和c的關系，進而求得離心率e．

解答 解：由橢圓和雙曲線有相同的焦點，
可得a²-b²=m²+n²=c²，
由c是a，m的等比中項，可得c²=am；
由n²是2m²與c²的等差中項，可得2n²=2m²+c²．
（即有n²=m²+$\frac{1}{2}$c²．解得m=$\frac{1}{2}$c，
代入c²=am，即為a=2c，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$）
可得m=$\frac{{c}^{2}}{a}$，n²=$\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2}$c²，
即有$\frac{2{c}^{4}}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2}$c²=c²，
化簡可得，a²=4c²，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用橢圓的性質(zhì)，同時考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．