Question

9．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個頂點與拋物線C₂：x²=4y的焦點重合，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓C₁的左、右焦點，C₁的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過F₂的直線l與橢圓C₁交于M，N兩點，與拋物線C₂交于P，Q兩點．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）當(dāng)直線l的斜率k=-1時，求△PQF₁的面積；
（3）在x軸上是否存在點A，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$為常數(shù)？若存在，求出點A的坐標(biāo)和這個常數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點，可得b=1，再由橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a，進而得到橢圓方程；
（2）由題意可得直線l：y=1-x，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），代入拋物線的方程x²=4y，運用韋達(dá)定理和弦長公式，以及點到直線的距離公式，運用三角形的面積公式可得所求；
（3）設(shè)x軸上存在一點A（t，0），使得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$為常數(shù)．①直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），代入橢圓方程，運用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡整理，再由恒為常數(shù)，可得t，可得常數(shù)；②當(dāng)直線l與x軸垂直時，求得M，N的坐標(biāo)，即可判斷存在A和常數(shù)．

解答 解：（1）由拋物線C₂：x²=4y的焦點為（1，0），可得b=1，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-c²=1，解得a=$\sqrt{2}$，
故橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）由題意可得直線l：y=1-x，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），代入拋物線的方程x²=4y，可得
x²+4x-4=0，可得x₁+x₂=-4，x₁x₂=-4，
即有|PQ|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{16+16}$=8，
由F₁到直線l的距離為d=$\frac{|-1-1|}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$，
可得△PQF₁的面積為$\frac{1}{2}$|PQ|d=$\frac{1}{2}$×8×$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$；
（3）設(shè)x軸上存在一點A（t，0），使得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$為常數(shù)．
①直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
把直線l的方程代入橢圓方程化簡可得（2k²+1）x²-4k²x+（2k²-2）=0，
∴x₃+x₄=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₃y₄=k²（x₃-1）（x₄-1）=k²[x₃x₄-（x₃+x₄）+1]，
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=（x₃-t）（x₄-t）+y₃y₄=（k²+1）x₃x₄-（k²+t）（x₃+x₄）+k²+t²
=$\frac{（1-4t）{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+t²，
∵$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$為常數(shù)，
∴$\frac{1-4t}{2}$=$\frac{-2}{1}$，
∴t=$\frac{5}{4}$，
此時$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=-2+$\frac{25}{16}$=-$\frac{7}{16}$；
②當(dāng)直線l與x軸垂直時，此時點M、N的坐標(biāo)分別為（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
當(dāng)t=$\frac{5}{4}$時，亦有$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=-$\frac{7}{16}$．
綜上，在x軸上存在定點A（$\frac{5}{4}$，0），使得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$為常數(shù)，
且這個常數(shù)為-$\frac{7}{16}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，兩個向量的數(shù)量積公式的運用，考查韋達(dá)定理，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．