Question

13．已知函數(shù)f（x）的圖象與y=2^x的圖象關(guān)于點（0，$\frac{1}{2}$）對稱，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且點（n，S_n）在函數(shù)f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=|log₂a_n|，記T_n=$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，若（n-1）²≤m（T_n-n-1）對于n≥2恒成立，求實數(shù)m取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過對稱及中點坐標(biāo)公式可得f（x）=1-2^-x，利用點（n，S_n）在函數(shù)f（x）的圖象上，得S_n=$1-\frac{1}{{2}^{n}}$，根據(jù)a_n=S_n-S_n-1可得結(jié)論；
（2）由（1）得$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=n×2ⁿ，計算出T_n、2T_n，兩式相減即得T_n，通過化簡m≥$\frac{（n-1）^{2}}{{T}_{n}-n-1}$的最大值，計算即可．

解答 解：（1）設(shè)y=2^x上任一點為（a，2^a），其對稱點為（x，y），
∵兩者中點為（0，$\frac{1}{2}$），∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+a}{2}=0}\\{\frac{y+{2}^{a}}{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得，x=-a，y=1-2^a，
因此有y=1-2^-x，f（x）=1-2^-x，
∵點（n，S_n）在函數(shù)f（x）的圖象上，
∴S_n=f（n）=1-2^-n=$1-\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a₁=S₁=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
a_n=S_n-S_n-1=$1-\frac{1}{{2}^{n}}$-（1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$$-\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）由（1）知，b_n=|log₂a_n|=|$lo{g}_{2}\frac{1}{{2}^{n}}$|=|-n|=n，
又∵a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}}={2}^{n}$，
∴T_n=$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-2）×2^n-1+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
兩式相減，得T_n=-1×2-1×2²-1×2³-…-1×2^n-1-1×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹
=n×2ⁿ⁺¹-（2+2²+2³+…+2^n-1+2ⁿ）
=n×2ⁿ⁺¹-$\frac{2×（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=2+（n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴T_n-n-1=2+（n-1）×2ⁿ⁺¹-n-1=（n-1）×（2ⁿ⁺¹-1）＞0，
∵（n-1）²≤m（T_n-n-1）對于n≥2恒成立，
∴m≥$\frac{（n-1）^{2}}{{T}_{n}-n-1}$=$\frac{（n-1）^{2}}{（n-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{n-1}{{2}^{n+1}-1}$$≥\frac{2-1}{{2}^{2+1}-1}$=$\frac{1}{7}$  （n≥2），
故實數(shù)m取值范圍為：$m≥\frac{1}{7}$．

點評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，通項公式，前n項和，錯位相減法，利用錯位相減法是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．