Question

1．設(shè)定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)f（x），對(duì)任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）-log₂x]=6，若x₀是方程f（x）+f（x-2）=10的一個(gè)解，且x₀∈（a，a+1）（a∈N^*），則a=（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 題意可得f（x）-log₂x為定值，設(shè)為t，代入可得t=4，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式，得到關(guān)于x₀的方程，求出x₀的值，從而求出a即可．

解答 解：根據(jù)題意，對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=6，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
則f（x）-log₂x為定值，
設(shè)t=f（x）-log₂x，則f（x）=t+log₂x，
又由f（t）=6，可得t+log₂t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log₂x，f（x-2）=4+log₂（x-2），
又x₀是方程f（x）+f（x-2）=10的一個(gè)解，
∴4+log₂x₀+4+log₂（x₀-2）=10，
∴${log}_{2}^{{x}_{0}{（x}_{0}-2）}$=2，∴${{x}_{0}}^{2}$-2x₀-4=0，
解得：x₀=1-$\sqrt{5}$（舍）或x₀=1+$\sqrt{5}$，
而3＜1+$\sqrt{5}$＜4，
故a=3，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)，屬中檔題．