Question

12．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）
（1）以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位）建立極坐標(biāo)系，若點P的極坐標(biāo)為（4，$\frac{π}{3}$），判斷點P與直線l的位置關(guān)系；
（2）設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，利用曲線C的參數(shù)方程求Q到直線l的距離的最大值與最小值的差．

Answer 1

分析 （1）將P的極坐標(biāo)（4，$\frac{π}{3}$），轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)P（2，2$\sqrt{3}$），將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)，由P點坐標(biāo)不滿足直線l的方程，P不在直線l上；
（2）將C的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，取得圓心坐標(biāo)及半徑，由點到直線記得距離公式求得圓心到直線的距離d，即可求得點Q到直線l的距離的最小值為d-r和最大值為d+r，兩式相減即可求得結(jié)果．

解答 解：（1）把點P的極坐標(biāo)（4，$\frac{π}{3}$），轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)P（2，2$\sqrt{3}$），
把直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\end{array}\right.$，化為直角坐標(biāo)方程為y=$\sqrt{3}$x+1，
由于點P的坐標(biāo)不滿足直線l的方程，故P不在直線l上，
（2）點Q是曲線C上的一個動點，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
曲線C的直角坐標(biāo)方程為：（x-2）²+y²=1，
∴曲線C表示已（2，0）為圓心，1為半徑的圓，
圓心到直線的距離為d=$\frac{丨2\sqrt{3}-0+1丨}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$，
故點Q到直線l的距離的最小值為d-r=$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$，
最大值為d+r=$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$，
∴曲線C的參數(shù)方程求Q到直線l的距離的最大值與最小值的差2．

點評 本題考查點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．