Question

15．如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，并且滿足AB=CD=4，∠A+∠BDC=180°，試確定S_△ABC-S_△BDC的最大值．

Answer 1

分析 由已知及三角形面積公式可得S_△ABC-S_△BDC=2sinA（AC-BD），又由余弦定理整理可得：AC-BD=8cosA，可求S_△ABC-S_△BDC=8sin2A，結(jié)合范圍A∈（0，$\frac{π}{2}$），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得S_△ABC-S_△BDC的最大值為8．

解答 解：∵AB=CD=4，∠A+∠BDC=180°，可得∠A為銳角，
∴S_△ABC-S_△BDC=$\frac{1}{2}AB•AC•sinA$-$\frac{1}{2}BD•DC•sin∠BDC$=2sinA（AC-BD），
又∵由余弦定理可得：BC²=AB²+AC²-2•AB•AC•cosA=BD²+DC²-2BD•DC•cos∠BDC，可得：16+AC²-8ACcosA=16+BD²-8BDcos∠BDC，
∴整理可得：AC-BD=8cosA，
∴S_△ABC-S_△BDC=2sinA（AC-BD）=8sin2A，
∵A∈（0，$\frac{π}{2}$），sin2A∈（0，1]，
∴S_△ABC-S_△BDC=8sin2A≤8，從而可得S_△ABC-S_△BDC的最大值為8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二倍角公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．