Question

3．求函數(shù)y=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}-3x+2}}$的值域．

Answer 1

分析 先確定x的范圍，可得$\frac{1}{x}$的范圍，由此利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得$\frac{1}{y}$的值域，從而求得y的值域．

解答 解：∵函數(shù)y=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}-3x+2}}$，∴x²-3x+2＞0，求得x＜1，或x＞2．
①當(dāng)0＜x＜1時(shí)，$\frac{1}{x}$∈（1，+∞），$\frac{1}{y}$=$\sqrt{{2（\frac{1}{x}）}^{2}-3•\frac{1}{x}+1}$=$\sqrt{2{•（\frac{1}{x}-\frac{3}{4}）}^{2}-\frac{1}{8}}$．
∴$\frac{1}{y}$∈（0，+∞）．
②當(dāng)x=0時(shí)，y=0，$\frac{1}{y}$不存在．
③當(dāng)x＜0時(shí)，$\frac{1}{x}$＜0，$\frac{1}{y}$=-$\sqrt{{2（\frac{1}{x}）}^{2}-3•\frac{1}{x}+1}$=-$\sqrt{2{•（\frac{1}{x}-\frac{3}{4}）}^{2}-\frac{1}{8}}$＜-1，
④當(dāng)x＞2時(shí)，$\frac{1}{x}$∈（0，$\frac{1}{2}$），$\frac{1}{y}$=$\sqrt{{2（\frac{1}{x}）}^{2}-3•\frac{1}{x}+1}$=$\sqrt{2{•（\frac{1}{x}-\frac{3}{4}）}^{2}-\frac{1}{8}}$，
∴$\frac{1}{y}$∈（0，1）．
綜上可得，$\frac{1}{y}$＞0，或$\frac{1}{y}$＜-1，或$\frac{1}{y}$∈（0，1），或$\frac{1}{y}$不存在．
∴y＞0，或-1＜y＜0，或y＞1，或y=0，
故y的值域?yàn)椋?1，0）∪[0，+∞）=（-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)的值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．