Question

若函數(shù)f（x）在x∈[a，b]時，函數(shù)值y的取值區(qū)間恰為[

1

b

，

1

a

]，就稱區(qū)間[a，b]為f（x）的一個“倒域區(qū)間”．定義在[-2，2]上的奇函數(shù)g（x），當(dāng)x∈[0，2]時，g（x）=-x²+2x．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）在[1，2]內(nèi)的“倒域區(qū)間”；
（3）若函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)所有“倒域區(qū)間”上的圖象作為函數(shù)y=h（x）的圖象，是否存在實(shí)數(shù)m，使集合{（x，y）|y=h（x）}∩{（x，y）|y=x²+m}恰含有2個元素．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用奇偶性得出g（x）=

-x2+2x，x∈[0，2] x2+2x，x∈[-2，0)

；（2）得出方程組問題

1 b =g(b)=-b2+2b 1 a =g(a)=-a2+2a

；
（3）

a＜b 1 b ＜ 1 a

，利用方程思想求解h（x）=

-x2+2x，x∈[1， 1+ 5 2 ] x2+2x，x∈[- 1+ 5 2 ，-1]

m應(yīng)當(dāng)使方程x²+m=-x²+2x，在[1，

1+ 5

2

]內(nèi)恰有一個實(shí)數(shù)根，并且使方程x²+m=x²+2x，在[

-1- 5

2

，-1]內(nèi)恰有一個實(shí)數(shù)．

解答： 解：（1）當(dāng)x∈[-2，0）時，
g（x）=-g（-x）=-[-（-x）²+2（-x）]=x²+2x
g（x）=

-x2+2x，x∈[0，2] x2+2x，x∈[-2，0)

（2）設(shè)1≤a＜b≤2，
∵g（x）在x∈[1，2]上遞減，
∴

1 b =g(b)=-b2+2b 1 a =g(a)=-a2+2a

整理得

(a-1)(a2-a-1)=0 (b-1)(b2-b-1)=0

，
解得

a=1 b= 1+ 5 2

．
∴g（x）在[1，2]內(nèi)的“倒域區(qū)間”為[1，

1+ 5

2

]．
（3）∵g（x）在x∈[a，b]時，函數(shù)值y的取值區(qū)間恰為[

1

b

，

1

a

]，其中a≠b，a、b≠0，
∴

a＜b 1 b ＜ 1 a

，
∴a、b同號．只考慮0＜a＜b≤2或-2≤a＜b＜0
當(dāng)0＜a＜b≤2時，根據(jù)g（x）的圖象知，g（x）最大值為1，

1

a

≤1，a∈[1，2），
∴1≤a＜b≤2，
由（Ⅱ）知g（x）在[1，2]內(nèi)的“倒域區(qū)間”為[1，

1+ 5

2

]；
當(dāng)-2≤a＜b＜0時間，g（x）最小值為-1，

1

b

≥-1，b∈（-2，-1]，
∴-2≤a＜b≤-1，
同理知g（x）在[-2，-1]內(nèi)的“倒域區(qū)間”為[

-1- 5

2

，-1]．
h（x）=

-x2+2x，x∈[1， 1+ 5 2 ] x2+2x，x∈[- 1+ 5 2 ，-1]

依題意：拋物線與函數(shù)h（x）的圖象有兩個交點(diǎn)時，一個交點(diǎn)在第一象限，一個交點(diǎn)在第三象限．
因此，m應(yīng)當(dāng)使方程x²+m=-x²+2x，
在[1，

1+ 5

2

]內(nèi)恰有一個實(shí)數(shù)根，并且使方程x²+m=x²+2x，在[

-1- 5

2

，-1]內(nèi)恰有一個實(shí)數(shù)
由方程2x-2x²=m在[1，

1+ 5

2

]內(nèi)恰有一根知-2≤m≤0；
由方程x²+m=x²+2x在[

-1- 5

2

，-1]內(nèi)恰有一根知-1-

5

≤m≤-2，
綜上：m=-2．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用求解數(shù)學(xué)問題，考查了分類思想，方程的運(yùn)用，難度大，屬于難題．