【題目】已知函數(shù)f(x)=ln+ax﹣1(a≠0).
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)已知g(x)+xf(x)=﹣x,若函數(shù)g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x1<x2),求證:g(x1)<0.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析
【解析】
試題
(Ⅰ)由題意分類(lèi)討論可得
a>0時(shí),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,單調(diào)增區(qū)間是;
a<0,函數(shù)單調(diào)遞減;
(Ⅱ)由題意可得,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行討論即可證得題中的結(jié)論.
試題解析:
(I)解:f(x)=ln+ax﹣1=﹣lnx+ax﹣1,定義域是(0,+∞)
∴f′(x)=.
a>0時(shí),令f′(x)=0,得x=,0<x<,f′(x)<0,x>,f′(x)>0,
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(0,),單調(diào)增區(qū)間是(,+∞);
a<0,f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,函數(shù)單調(diào)遞減;
(Ⅱ)證明:已知g(x)+xf(x)=﹣x,則g(x)=xlnx﹣ax2,g′(x)=lnx﹣2ax+1,
∵函數(shù)g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x1<x2),
∴g′(x)在定義域上有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1<x2),
∴x1,x2是lnx﹣2ax+1=0的兩個(gè)根,
∴lnx1﹣2ax1+1=0,
∴g(x1)=,
∵g′(x)=lnx﹣2ax+1,
∴g″(x)=.
a<0時(shí),g″(x)>0恒成立,∴g′(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,∴g′(x)至多一個(gè)零點(diǎn);
a>0時(shí),令g″(x)=0得x=,0<x<,g″(x)>0,x>,g″(x)<0,
∴g′(x)max=g′()=ln=﹣ln2a>0,
∴0<a<且0<x1<<x2,
∵g(x1)=,拋物線開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸為x=,
∴g(x1)<0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的極坐標(biāo)方程;
(2)若射線與曲線交于點(diǎn)(不同于原點(diǎn)),與直線交于點(diǎn),直線與極軸所在直線交于點(diǎn).求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護(hù)意識(shí),高二年級(jí)準(zhǔn)備成立一個(gè)環(huán)境保護(hù)興趣小組.該年級(jí)理科班有男生400人,女生200人;文科班有男生100人,女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人,按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人,組成環(huán)境保護(hù)興趣小組,再?gòu)倪@10人的興趣小組中抽出4人參加學(xué)校的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽.
(1)設(shè)事件為“選出的這4個(gè)人中要求有兩個(gè)男生兩個(gè)女生,而且這兩個(gè)男生必須文、理科生都有”,求事件發(fā)生的概率;
(2)用表示抽取的4人中文科女生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正整數(shù)數(shù)列滿足:,,().
(1)已知,,試求、的值;
(2)若,求證:;
(3)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】私家車(chē)的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一,因此在生活中我們應(yīng)該提倡低碳生活,少開(kāi)私家車(chē),盡量選擇綠色出行方式,為預(yù)防霧霾出一份力.為此,很多城市實(shí)施了機(jī)動(dòng)車(chē)車(chē)尾號(hào)限行,我市某報(bào)社為了解市區(qū)公眾對(duì)“車(chē)輛限行”的態(tài)度,隨機(jī)抽查了人,將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表:
年齡(歲) | ||||||
頻數(shù) | ||||||
贊成人數(shù) |
()完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖.
()若從年齡在,的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取人進(jìn)行追蹤調(diào)查,求恰有人不贊成的概率.
()在在條件下,再記選中的人中不贊成“車(chē)輛限行”的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某景區(qū)欲建兩條圓形觀景步道(寬度忽略不計(jì)),如圖所示,已知,(單位:米),要求圓M與分別相切于點(diǎn)B,D,圓與分別相切于點(diǎn)C,D.
(1)若,求圓的半徑;(結(jié)果精確到0.1米)
(2)若觀景步道的造價(jià)分別為每米0.8千元與每米0.9千元,則當(dāng)多大時(shí),總造價(jià)最低?最低總造價(jià)是多少?(結(jié)果分別精確到0.1°和0.1千元)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,其中,且,延長(zhǎng)線段到點(diǎn),使得,.
(1)求證:是直角;
(2)求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果存在常數(shù)a,使得數(shù)列{an}滿足:若x是數(shù)列{an}中的一項(xiàng),則a-x也是數(shù)列{an}中的一項(xiàng),稱(chēng)數(shù)列{an}為“兌換數(shù)列”,常數(shù)a是它的“兌換系數(shù)”.
(1)若數(shù)列:2,3,6,m(m>6)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求m和a的值;
(2)已知有窮等差數(shù)列{bn}的項(xiàng)數(shù)是n0(n0≥3),所有項(xiàng)之和是B,求證:數(shù)列{bn}是“兌換數(shù)列”,并用n0和B表示它的“兌換系數(shù)”;
(3)對(duì)于一個(gè)不少于3項(xiàng),且各項(xiàng)皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列{cn},是否有可能它既是等比數(shù)列,又是“兌換數(shù)列”?給出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖1是某斜拉式大橋圖片,為了了解橋的一些結(jié)構(gòu)情況,學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組將大橋的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了簡(jiǎn)化,取其部分可抽象成圖2所示的模型,其中橋塔、與橋面垂直,通過(guò)測(cè)量得知,,當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),.
(1)求的長(zhǎng);
(2)試問(wèn)在線段的何處時(shí),達(dá)到最大.
圖1 |
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