Question

16．已知函數(shù)f（x）定義域為R，則下列命題：
①若y=f（x）為偶函數(shù)，則y=f（x+2）的圖象關于y軸對稱．
②若y=f（x+2）為偶函數(shù)，則y=f（x）關于直線x=2對稱．
③若函數(shù)y=f（2x+1）是偶函數(shù)，則y=f（2x）的圖象關于直線$x=\frac{1}{2}$對稱．
④若f（x-2）=f（2-x），則則y=f（x）關于直線x=2對稱．
⑤函數(shù)y=f（x-2）和y=f（2-x）的圖象關于x=2對稱．
其中正確的命題序號是（　�。�

• A． ①②④
• B． ①③④
• C． ②③⑤
• D． ②③④

Answer 1

分析 由函數(shù)的圖象關于y軸對稱結合函數(shù)的圖象平移判斷①②③；
令t=x-2換元，然后利用偶函數(shù)的性質(zhì)判斷④；
設f（m）=n，可得函數(shù)y=f（x-2）的圖象經(jīng)過點A（m+2，n），求出A關于x=2的對稱點B（-m+2，n），由B在y=f（2-x）上說明⑤正確．

解答 解：①若y=f（x）為偶函數(shù)，則其圖象關于y軸對稱，∴y=f（x+2）的圖象關于直線x=-2對稱，①錯誤；
②若y=f（x+2）為偶函數(shù)，則其圖象關于y軸對稱，∴y=f（x）關于直線x=2對稱，②正確；
③若函數(shù)y=f（2x+1）=f[2（x+$\frac{1}{2}$）]是偶函數(shù)，則其圖象關于y軸對稱，
∴y=f（2x）的圖象關于直線$x=\frac{1}{2}$對稱，③正確；
④令t=x-2，則2-x=-t，
由于f（x-2）=f（2-x），得f（t）=f（-t），∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
得f（x）的圖象自身關于直線y軸對稱，④錯誤；
⑤設f（m）=n，則函數(shù)y=f（x-2）的圖象經(jīng)過點A（m+2，n）
而y=f（2-x）的圖象經(jīng)過點B（-m+2，n），由于點A與點B是關于x=2對稱的點，
∴y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱，⑤正確．
∴正確命題的序號是②③⑤．
故答案為：②③⑤．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)圖象的平移與對稱性問題，是中檔題．