Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{x^2}-6x+4a}}{4x}-lnx$，其中a∈R
（1）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍
（2）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間與極值．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的導數(shù)，喲偶題意可得f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，即$\frac{1}{4}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$≥0，即有a≤$\frac{{x}^{2}-4x}{4}$，求得右邊函數(shù)的最小值，即可得到所求范圍；
（2）求得導數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得a，再由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導數(shù)小于0可得減區(qū)間，進而得到極值．

解答 解�。�1）對f（x）求導得f′（x）=$\frac{1}{4}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調遞增，
∴f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即$\frac{1}{4}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$≥0，即有a≤$\frac{{x}^{2}-4x}{4}$，
由$g（x）=\frac{{{x^2}-4x}}{4}=\frac{{{{（x-2）}^2}-4}}{4}≥-1$，
∴a≤-1，即有a的取值范圍（-∞，-1]；
（2）對f（x）求導得f′（x）=$\frac{1}{4}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
由f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線y軸，
可知f′（1）=-$\frac{3}{4}$-a=0，解得a=$-\frac{3}{4}$，
知$f（x）=\frac{x}{4}-\frac{3}{4x}-lnx-\frac{3}{2}$，
則f′（x）=$\frac{{{x^2}-4x+3}}{{4{x^2}}}$，
令f′（x）=0，解得x=1或x=3，

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

由此知f（x）的增區(qū)間為（0，1），（3，+∞），減區(qū)間為（1，3）；
函數(shù)f（x）在x=1時取得極大值f（1）=-2，
f（x）在x=3時取得極小值f（3）=-1-ln3．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間、極值，考查參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．