Question

9．若函數(shù)y=f（x）滿足?x∈R，有f（1+x）=f（1-x）=f（x-1），則下列說法錯(cuò)誤的是（　　）

• A． f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱
• B． f（x）為奇函數(shù)
• C． f（x）是周期為2的函數(shù)
• D． f（x）為偶函數(shù)

Answer 1

分析 由已知的等式f（1+x）=f（1-x），可得函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；再把f（1-x）=f（x-1）變形可得函數(shù)為偶函數(shù)；最后結(jié)合f（1+x）=f（1-x）及函數(shù)為偶函數(shù)求得函數(shù)的周期，則答案可求．

解答 解：由f（1+x）=f（1-x），可得函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
又f（1-x）=f（x-1）=f[-（1-x）]，可知y=f（x）為偶函數(shù)，
由f（1+x）=f（1-x），得f（1+1+x）=f（1-1-x）=f（-x）=f（x）．
即f（2+x）=f（x），函數(shù)y=f（x）的周期為2．
∴選項(xiàng)A、C、D正確，則B錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，訓(xùn)練了與抽象函數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)的判斷，屬中檔題．