Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}cos（x-\frac{π}{2}），x∈[0，π]\\{log_{2015}}\frac{x}{π}，x∈（π，+∞）\end{array}$，若有三個不同的實數(shù)a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍為（　　）

• A． （2π，2016π）
• B． （$\frac{3π}{2}，\frac{4031π}{2}$）
• C． （2π，2015π）
• D． （π，2015π）

Answer 1

分析 首先化簡函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}cos（x-\frac{π}{2}），x∈[0，π]\\{log_{2015}}\frac{x}{π}，x∈（π，+∞）\end{array}$，再分別討論函數(shù)f（x）在兩個區(qū)間上的單調性及最值，從而可確定0＜f（a）=f（b）=f（c）＜1，從而解得．

解答 解：化簡函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}cos（x-\frac{π}{2}），x∈[0，π]\\{log_{2015}}\frac{x}{π}，x∈（π，+∞）\end{array}$得，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，x∈[0，π]}\\{lo{g}_{2015}\frac{x}{π}，x∈（π，+∞）}\end{array}\right.$；
故當x∈[0，π]時，
f（x）=sinx在[0，π]上先增后減，
且0≤f（x）≤1，
當且僅當x=$\frac{π}{2}$時sinx=1；
當0≤d＜1時，由sin（π-x）=sinx知，
方程sinx=d有兩個不同的根，兩根和為π；
當x∈（π，+∞）時，
f（x）=log₂₀₁₅$\frac{x}{π}$單調遞增，
故f（x）＞log₂₀₁₅1=0，
故若有三個不同的實數(shù)a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），
則0＜f（a）=f（b）=f（c）＜1，
不妨設a＜b＜c，
則由以上分析知，a+b=π，
0＜log₂₀₁₅$\frac{c}{π}$＜1；
即π＜c＜2015π；
故2π＜a+b+c＜2016π；
故選A．

點評 本題考查了分段函數(shù)及三角函數(shù)的性質應用，同時考查了分類討論的思想應用，屬于中檔題．