Question

13．各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，{a}_{n}≤1}\\{\frac{1}{{a}_{n}}，{a}_{n＞1}}\end{array}\right.$，若存在三個(gè)不同的首項(xiàng)a₁，使得a₃=m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． （0，1）
• C． [$\frac{1}{2}$，1）
• D． [$\frac{1}{2}$，2]

Answer 1

分析 分類(lèi)討論：當(dāng)${a}_{1}≤\frac{1}{2}$時(shí)，a₂=2a₁≤1，可得a₃=4a₁=m，解得m范圍．同理當(dāng)$\frac{1}{2}＜{a}_{1}≤1$時(shí)，得a₁=$\frac{1}{2m}$，解得m范圍．當(dāng)a₁＞1時(shí)，解得a₁=$\frac{2}{m}$，解得m范圍．由于存在三個(gè)不同的首項(xiàng)a₁，使得a₃=m，求其交集即可．

解答 解：當(dāng)${a}_{1}≤\frac{1}{2}$時(shí)，a₂=2a₁≤1，∴a₃=2a₂=4a₁=m，得${a}_{1}=\frac{m}{4}$$≤\frac{1}{2}$，解得m≤2．
當(dāng)$\frac{1}{2}＜{a}_{1}≤1$時(shí)，a₂=2a₁＞1，a₃=$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{2{a}_{1}}$=m，解得a₁=$\frac{1}{2m}$，∴$\frac{1}{2}＜\frac{1}{2m}≤1$，解得$\frac{1}{2}≤m＜1$．
當(dāng)a₁＞1時(shí)，${a}_{2}=\frac{1}{{a}_{1}}$＜1，∴a₃=2a₂=$\frac{2}{{a}_{1}}$=m，解得a₁=$\frac{2}{m}$，∴$\frac{2}{m}$＞1，解得m＜2．
∵存在三個(gè)不同的首項(xiàng)a₁，使得a₃=m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{\frac{1}{2}≤m＜1}\\{m＜2}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}≤m＜1$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是$[\frac{1}{2}，1）$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類(lèi)討論思想方法、不等式的性質(zhì)、分段函數(shù)性質(zhì)、集合運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．