Question

2．設(shè)x₁、x₂是關(guān)于x的方程ax³+（2-a）x²-x-1=0（a＞0）的實(shí)根，且x₁≠1，x₂≠1，若$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈[$\frac{1}{2}$，2]，則a的取值范圍是[$\frac{8}{9}$，1]．

Answer 1

分析 先把原方程變成（x-1）（ax²+2x+1）=0，從而可判斷出x₁，x₂是方程ax²+2x+1=0的兩實(shí)根．根據(jù)韋達(dá)定理便有$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2}{a}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$（1），可設(shè)$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=t$，從而x₁=tx₂，并帶入（1）便得到$\left\{\begin{array}{l}{{（t+1）x}_{2}=-\frac{2}{a}}\\{t{{x}_{2}}^{2}=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，消去x₂便得到$t+\frac{1}{t}+2=\frac{4}{a}$，可設(shè)f（t）=t+$\frac{1}{t}$+2，通過(guò)求導(dǎo)，可求得f（t）的最小值為f（1）=4，最大值為f（2）=$\frac{9}{2}$，從而得到$4≤\frac{4}{a}≤\frac{9}{2}$，解該不等式即得a的取值范圍．

解答 解：原方程可變成：
（x-1）（ax²+2x+1）=0；
∵x₁≠1，x₂≠1；
∴x₁，x₂是一元二次方程ax²+2x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
由韋達(dá)定理，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2}{a}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，若設(shè)$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=t$，則x₁=tx₂；
∴$\left\{\begin{array}{l}{（t+1）{x}_{2}=-\frac{2}{a}}&{①}\\{t{{x}_{2}}^{2}=\frac{1}{a}}&{②}\end{array}\right.$；
$\frac{{①}^{2}}{②}$得，$\frac{{t}^{2}+2t+1}{t}=\frac{4}{a}$；
∴$t+\frac{1}{t}+2=\frac{4}{a}$；
設(shè)f（t）=$t+\frac{1}{t}+2$，t$∈[\frac{1}{2}，2]$，f′（t）=$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$；
t$∈[\frac{1}{2}，1）$時(shí)，f′（t）＜0，t∈（1，2]時(shí)，f′（t）＞0；
∴f（1）=4是f（t）在$[\frac{1}{2}，2]$上的最小值，且$f（\frac{1}{2}）=f（2）=\frac{9}{2}$；
∴$4≤f（t）≤\frac{9}{2}$；
∴$4≤\frac{4}{a}≤\frac{9}{2}$；
∴$\frac{8}{9}≤a≤1$；
∴a的取值范圍是[$\frac{8}{9}$，1]．
故答案為：[$\frac{8}{9}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 考查處理高次方程的方法：對(duì)方程式分解因式變成低次方程，韋達(dá)定理，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法與過(guò)程，以及解分式不等式．