Question

9．已知函數(shù)f（x）=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|．
（1）指出f（x）=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|的基本性質(zhì)（兩條即可，結(jié)論不要求證明），并作出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）關(guān)于x的方程f²（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6個不同的實數(shù)解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{x}，x≤-1}\\{-2x，-1＜x＜0}\\{2x，0＜x＜1}\\{\frac{2}{x}，x≥1}\end{array}\right.$，判斷函數(shù)的性質(zhì)，再作其圖象即可；
（2）結(jié)合右圖可知方程x²+mx+n=0有兩個不同的根x₁，x₂，且x₁=2，x₂∈（0，2）；從而可得故x²+mx+n=（x-2）（x-x₂），從而解得．

解答 解：（1）化簡可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{x}，x≤-1}\\{-2x，-1＜x＜0}\\{2x，0＜x＜1}\\{\frac{2}{x}，x≥1}\end{array}\right.$，
故f（x）是偶函數(shù)，且最大值為2；
作其圖象如右圖，
（2）∵關(guān)于x的方程f²（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6個不同的實數(shù)解，
∴結(jié)合右圖可知，
方程x²+mx+n=0有兩個不同的根x₁，x₂，
且x₁=2，x₂∈（0，2）；
故x²+mx+n=（x-2）（x-x₂）
=x²-（2+x₂）x+2x₂，
故m=-（2+x₂），
故-4＜m＜-2．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及絕對值函數(shù)的應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．