Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=an²+bn，且a₁=1，a₂=3．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，求證：T_n≥2．

Answer 1

分析 （I）通過S_n=an²+bn及a₁=1、a₂=3求出a、b的值，進(jìn)而利用當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）可知b_n=$\frac{1}{2}$•4ⁿ，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算、放縮即得結(jié)論．

解答 （I）解：∵S_n=an²+bn，且a₁=1，a₂=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=a+b}\\{1+3=4a+2b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴S_n=n²，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又∵a₁=1滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n-1；
（Ⅱ）證明：由（I）可知b_n=2^2n-1=$\frac{1}{2}$•4ⁿ，
∴T_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1）≥$\frac{2}{3}$（4-1）=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．