Question

11．已知△ABC，若存在△A₁B₁C₁，滿(mǎn)足$\frac{cosA}{sin{A}_{1}}$=$\frac{cosB}{sin{B}_{1}}$=$\frac{cosC}{sin{C}_{1}}$=1，則稱(chēng)△A₁B₁C₁是△ABC的一個(gè)“友好”三角形，若等腰△ABC存在“友好”三角形，則其底角的弧度數(shù)為$\frac{3π}{8}$．

Answer 1

分析 由題意可得cosA=sinA₁，cosB=sinB₁，cosC=sinC₁，設(shè)B=α=C，則A=π-2α，求得A₁=2α，可得tan2α=-1，再根據(jù)2α∈（0，π）可得2α的值，從而求得α的值．

解答 解：由題意可得等腰△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C均為銳角，
且cosA=sinA₁，cosB=sinB₁，cosC=sinC₁，
設(shè)B=α=C，則A=π-2α．
由于△A₁B₁C₁中，A₁、B₁、C₁不會(huì)全是銳角，
否則，有A+A₁=$\frac{π}{2}$，B+B₁=$\frac{π}{2}$，C+C₁=$\frac{π}{2}$，與三角形內(nèi)角和矛盾．
故A₁、B₁、C₁必有一個(gè)鈍角，只能是頂角A₁為鈍角，C₁和B₁均為銳角．
故有 B₁=$\frac{π}{2}$-α，C₁=$\frac{π}{2}$-α，∴A₁=2α．
再根據(jù)cosA=sinA₁，可得cos（π-2α）=sin2α，即 sin2α+cos2α=0，
即tan2α=-1，再根據(jù)2α∈（0，π）可得2α=$\frac{3π}{4}$，∴α=$\frac{3π}{8}$，
故答案為：$\frac{3π}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查新定義，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．