Question

4．若一球的半徑為1，其內(nèi)接一圓柱，則圓柱的側(cè)面積最大為：2π．

Answer 1

分析 由題意圓柱的底面為球的截面，由球的截面性質(zhì)可得出圓柱的高為h、底面半徑為R與球的半徑的關(guān)系，再用h和R表示出圓柱的側(cè)面積，利用基本不等式求最值即可．

解答 解：如圖為軸截面，令圓柱的高為h，底面半徑為R，側(cè)面積為S，
則（$\frac{h}{2}$）²+R²=1²，
即h=2$\sqrt{1-{R}^{2}}$．
∵S=2πRh=4πR•$\sqrt{1-{R}^{2}}$=4π$\sqrt{{R}^{2}（1-{R}^{2}）}$≤4π$\sqrt{\frac{1}{4}}$=2π，
取等號時，內(nèi)接圓柱底面半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，高為$\sqrt{2}$．
故答案為：2π．

點(diǎn)評 本題考查球與圓柱的組合體問題、以及利用基本不等式求最值問題，難度一般．