Question

15．已知${（{x^{\frac{2}{3}}}+3{x^2}）^n}$的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與它的二項(xiàng)式系數(shù)和的比為32．
（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 根據(jù)展開式中各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和的比列出方程求出n的值，
再求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答 解：令x=1，得展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為（1+3）ⁿ=2²ⁿ．
又展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ，
∴$\frac{{2}^{2n}}{{2}^{n}}$=32，解得n=5；…（2分）
（1）∵n=5，展開式共6項(xiàng)，
∴二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、四兩項(xiàng)，
∴${T_3}=C_5^3{（{x^{\frac{2}{3}}}）^3}{（3{x^2}）^2}=90{x^6}$，
${T_4}=C_5^3{（{x^{\frac{2}{3}}}）^2}{（3{x^2}）^3}=270{x^{\frac{22}{3}}}$；…（6分）
（2）設(shè)展開式中第k+1項(xiàng)的系數(shù)最大，
則由${T_{k+1}}=C_5^k{（{x^{\frac{2}{3}}}）^{5-k}}{（3{x^2}）^k}={3^k}C_5^k{x^{\frac{10+4k}{3}}}$，
得$\left\{{\begin{array}{l}{{3^k}C_5^k≥{3^{k-1}}C_5^{k-1}}\\{{3^k}C_5^k≥{3^{k+1}}C_5^{k+1}}\end{array}}\right.$，
解得$\frac{7}{2}≤k≤\frac{9}{2}$，∴k=4，即展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為
${T_5}=C_5^4（{x^{\frac{2}{3}}}）{（3{x^2}）^4}=405{x^{\frac{26}{3}}}$．      …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)明確二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)的區(qū)別，是基礎(chǔ)題目．