Question

12．計(jì)算：S=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$+…+$\sqrt{1+\frac{1}{10{0}^{2}}+\frac{1}{10{1}^{2}}}$的值為$\frac{10200}{101}$．

Answer 1

分析 由題意設(shè)${a}_{n}=1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}$，同分后化簡(jiǎn)湊成完全平方式并求出$\sqrt{{a}_{n}}$，再利用裂項(xiàng)相消法求出式子S的值．

解答 解：由題意設(shè)${a}_{n}=1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}$=1+$\frac{{（n+1）}^{2}+{n}^{2}}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$
=1+$\frac{2{n}^{2}+2n+1}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=1+$\frac{2n（n+1）+1}{{n}^{2}{（n+1）}^{2}}$=1+$\frac{2}{n（n+1）}+$$\frac{1}{{n}^{2}{（n+1）}^{2}}$
=$[1+\frac{1}{n（n+1）}]^{2}$，
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴S=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$+…+$\sqrt{1+\frac{1}{10{0}^{2}}+\frac{1}{10{1}^{2}}}$
=100+（1$-\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{100}-$$\frac{1}{101}$）
=100+1-$\frac{1}{101}$=$\frac{10{1}^{2}-1}{101}=\frac{10200}{101}$，
故答案為：$\frac{10200}{101}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查構(gòu)造數(shù)列法，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．