Question

17．證明二項式定理（a+b）ⁿ=$\sum_{r=0}^{n}$C${\;}_{n}^{r}$a^n-rb^r，n∈N^*．

Answer 1

分析 （a+b）ⁿ，表示n個因式（a+b）的乘積，取出按b的升冪排列的各項的系數(shù)，即可證得等式成立．

解答 證明：由于（a+b）ⁿ，表示n個因式（a+b）的乘積，若每個因式都取a，即每個因式都不取b，即可得到aⁿ的項，故含aⁿ的項的系數(shù)為${C}_{n}^{0}$．
若這n個因式中有1個取b，其余的（n-1）個因式都取a，即可得到含a^n-1•b的項，故含a^n-1•b的項的系數(shù)為${C}_{n}^{1}$．
若這n個因式中有2個取b，其余的（n-1）個因式都取a，即可得到含a^n-2•b²的項，故含a^n-2•b²的項的系數(shù)為${C}_{n}^{2}$．
若這n個因式中有3個取b，其余的（n-1）個因式都取a，即可得到含a^n-3•b²的項，故含a^n-3•b³的項的系數(shù)為${C}_{n}^{3}$．
…，
若這n個因式都取b，即每個因式都不取a，即可得到含bⁿ的項，故含bⁿ的項的系數(shù)為${C}_{n}^{n}$．
故（a+b）ⁿ=${C}_{n}^{0}$•aⁿ+${C}_{n}^{1}$•a^n-1•b+${C}_{n}^{2}$•a^n-2•b²+…+${C}_{n}^{n}$•bⁿ=$\sum_{r=0}^{n}$C${\;}_{n}^{r}$a^n-rb^r，n∈N^*．
∴（a+b）ⁿ=$\sum_{r=0}^{n}$C${\;}_{n}^{r}$a^n-rb^r，n∈N^*成立．

點評 本題主要考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，（a+b）ⁿ 的意義，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．