Question

設(shè)直線l：y=kx+m（其中k，m為整數(shù)）與橢圓

x2

16

+

y2

12

=1交于不同兩點A，B，與雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1交于不同兩點C，D，問是否存在直線l，使得向量

AC

+

BD

=0，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由

y=kx+m x2 16 + y2 12 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，由

y=kx+m x2 4 - y2 12 =1

，得（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件，能求出滿足條件的直線的條數(shù)．

解答： 解：由

y=kx+m x2 16 + y2 12 =1

，
消去y化簡整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

8km

3+4k2

△1=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-48)＞0，①…4分
由

y=kx+m x2 4 - y2 12 =1

消去y化簡整理得（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0，
設(shè)C（x₃，y₄），D（x₄，y₄），
則x3+x4=

2km

3-k2

△2=(-2km)2+4(3-k2)(m2+12)＞0②…（8分）
因為

AC

+

BD

=0，
所以（y₄-y₂）+（y₃-y₁）=0．
由x₁+x₂=x₃+x₄得-

8km

3+4k2

=

2km

3-k2

．
所以2km=0或-

4

3+4k2

=

1

3-k2

．
由上式解得k=0或m=0．當(dāng)k=0時，
由①和②得-2

3

＜m＜2

3

．
因為m是整數(shù)，所以m的值為-3，-2，-1，0，1，2，3．
當(dāng)m=0，由①和②得-

3

＜k＜

3

．
因為k是整數(shù)，所以k=-1，0，1．
于是滿足條件的直線共有9條．…（14分）

點評：本題考查滿足條件的直線條數(shù)的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．