【題目】已知函數(shù)(
).
(Ⅰ)若,恒有
成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個相異極值點
,
,求證:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(1)分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可,
(2)函數(shù)g(x)=f(x)-x有兩個極值點x1、x2,即導(dǎo)函數(shù)g′(x)有兩個不同的實數(shù)根x1、x2,對a進行分類討論,令,構(gòu)造函數(shù)φ(t),利用函數(shù)φ(t)的單調(diào)性證明不等式.
試題解析:
(Ⅰ)由,恒有
,即
,
對任意
成立,
記,
,
當(dāng),
,
單調(diào)遞增;
當(dāng),
,
單調(diào)遞減,
最大值為
,
∴,
.
(Ⅱ)函數(shù)有兩個相異的極值點
,
,
即有兩個不同的實數(shù)根.
①當(dāng)時,
單調(diào)遞增,
不可能有兩個不同的實根;
②當(dāng)時,設(shè)
,則
,
當(dāng)時,
,
單調(diào)遞增;
當(dāng)時,
,
單調(diào)遞減,
∴,∴
,
不妨設(shè),∵
,
∴,
,
,
先證,即證
,
即證,
令,即證
,設(shè)
,
則,函數(shù)
在
單調(diào)遞減,
∴,∴
,又
,∴
,
∴.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017高考特別強調(diào)了要增加對數(shù)學(xué)文化的考查,為此某校高三年級特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的專題訓(xùn)練卷(文、理科試卷滿分均為100分),并對整個高三年級的學(xué)生進行了測試.現(xiàn)從這些學(xué)生中隨機抽取了50名學(xué)生的成績,按照成績?yōu)?/span>,
,…,
分成了5組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖(假定每名學(xué)生的成績均不低于50分).
(1)求頻率分布直方圖中的的值,并估計所抽取的50名學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);
(2)若高三年級共有2000名學(xué)生,試估計高三學(xué)生中這次測試成績不低于70分的人數(shù);
(3)若利用分層抽樣的方法從樣本中成績不低于70分的三組學(xué)生中抽取6人,再從這6人中隨機抽取3人參加這次考試的考后分析會,試求后兩組中至少有1人被抽到的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是( )
A.y=1,y=
B.y= ×
,y=
C.y=2x+1﹣2x , y=2x
D.y=2lgx,y=lgx2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知z∈C,z+2i 和 都是實數(shù).
(1)求復(fù)數(shù)z;
(2)若復(fù)數(shù)(z+ai)2 在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限,求實數(shù)a 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點為
為
上位于第一象限的任意一點,過點
的直線
交
于另一點
,交
軸的正半軸于點
.
(1)若當(dāng)點的橫坐標(biāo)為
,且
為等腰三角形,求
的方程;
(2)對于(1)中求出的拋物線,若點
,記點
關(guān)于
軸的對稱點為
交
軸于點
,且
,求證:點
的坐標(biāo)為
,并求點
到直線
的距離
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:x∈R,使2x>3x;命題q:x(0, ),tanx>sinx下列是真命題的是( )
A.(¬p)∧q
B.(¬p)∨(¬q)
C.p∧(¬q)
D.p∨(¬q)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
),與
圖象的對稱軸
相鄰的
的零點為
.
(Ⅰ)討論函數(shù)在區(qū)間
上的單調(diào)性;
(Ⅱ)設(shè)的內(nèi)角
,
,
的對應(yīng)邊分別為
,
,
,且
,
,若向量
與向量
共線,求
,
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才藝:禮、樂、射、御、書、數(shù),簡稱“六藝”,某中學(xué)為弘揚“六藝”的傳統(tǒng)文化,分別進行了主題為“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六場傳統(tǒng)文化知識的競賽,現(xiàn)有甲、乙、丙三位選手進入了前三名的最后角逐、規(guī)定:每場知識競賽前三名的得分都分別為(
,且
);選手最后得分為各場得分之和,在六場比賽后,已知甲最后得分為26分,乙和丙最后得分都為11分,且乙在其中一場比賽中獲得第一名,則下列推理正確的是( )
A. 每場比賽第一名得分為4 B. 甲可能有一場比賽獲得第二名
C. 乙有四場比賽獲得第三名 D. 丙可能有一場比賽獲得第一名
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二維空間中圓的一維測度(周長)l=2πr,二維測度(面積)S=πr2;三維空間中球的二維測度(表面積)S=4πr2 , 三維測度(體積)V= πr3;四維空間中“超球”的三維測度V=8πr3 , 則猜想其四維測度W= .
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